证明函数满足热传导方程

下章将要证明:在任何区城D内解析函数f(z)一定有任意阶导数。由此证明，

(1)f(z)的实部和虚部在D内也有任意阶导数，并且满足拉普拉斯方程，

(2)在D内,

如果函数f(z)在可求面积的区域D内单叶解析，并且满足条件|f(z)|≤1，证明:

证明函数

在(-∞,∞)上连续.(证明中可利用公式

设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(x)＞0,证明:

由及所定义的函数分别称为双曲正弦函数和双曲余弦函数。证明

由此从关于三角函数的有关公式导出:

设函数

证明:(1);

(2)当x≠0时,,但不存在;

(3)当y≠0时,但不存在.

证明:若，其中φ(t)为一实数，则

其中为F(ω)的共轭函数.

在点{0,0}求下面各函数的二次极限

并证明[或说明]没有二重极限.

若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导函数,且

证明:在(x₁,x₃)内至少有一点ξ,使得f"(ξ)=0.