证明:为代数结构的同态（这里R₊为正实数集,R为实数集,-为数乘运算).它是否为一同构映射？为

求曲线x=Rcos³t,y= Rsin³连上绕x轴旋转所得立体体积(这里R为正实数).

证明:(1)方程(这里c为常数)在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根;

(2)方程(n为自然数,p,q为实数)当n为偶数时至多有两个实根;当n为奇数时至多有三个实根.

证明:若，其中φ(t)为一实数，则

其中为F(ω)的共轭函数.

设a，b，c为常数，且c为实数，证明下式：为平面上的抛物线方程。

设实数a的t位β进制浮点机器数表示为fl（a)。试证明：其中的记号*表示加、减、乘、除中一种运算。

设实数a的t位β进制浮点机器数表示为fl(a)。试证明：其中的记号*表示加、减、乘、除中一种运算。

设f(x)在[a,b]上定义,且对任何实数x₁和x₂,满足

证明f(x)在[a,b]上恒为常数.

设α为n维单位列向量，k为实数，H=E-kαα^T。（1)证明H为实对称阵;（2)证明α为H的特征向量，并求相应特征值;（3)k为何值时，H为正交矩阵;（4)k为何值时，H为可逆矩阵;（5)k为何值时，H为正定矩阵。

在自然推理系统中，构造用自然语言描述的推理的证明。

1.实数不是有理数就是无理数。无理数都不是分数。所以，若有分数，则必有有理数(个体为实数集R)。

2.人都喜欢吃蔬菜。但不是所有的人都喜欢吃鱼。所以，存在喜欢吃蔬菜而不喜欢吃鱼的。