试证，若n维向量α与β正交，则对于任意实数k，l，有k_α与l_β正交。

设α₁，α₂，···，α_n是n维欧氏空向Rⁿ的一组基。证明：

(1)若γ∈Rⁿ，有(γ，α_i)=0，i=1，2，...，n，则γ是零向量;

(2)若γ₁，γ₂∈Rⁿ，使对Rⁿ中任意向量α，均有＜γ₁，α＞=＜γ₂，α＞，那么γ₁=γ₂。

设α为n维单位列向量，k为实数，H=E-kαα^T。（1)证明H为实对称阵;（2)证明α为H的特征向量，并求相应特征值;（3)k为何值时，H为正交矩阵;（4)k为何值时，H为可逆矩阵;（5)k为何值时，H为正定矩阵。

设f(x₁，...，x_n)=X'AX是一实二次型。已知有实n维向量X₁，X₂使证明：必存在实n维向量X₀≠0，使X₀'AX₀=0。

设f(x)在[a,b]上连续,且对于任意区间均有成立,试证:f(x)=0.

试证明下列命题。

① 可控性矩阵的秩为n₁＜n₂,证明：

②对n维单输入-单输出系统，证明:若(A，b)可控，则一定存在行向量c，使得(A，c)可观测。

③对n维单输入-单输出系统(A，b，c) ，证明:

A.与α₁，α₂，…，α_s等价的任意一个线性无关向量组均含r个向量

B.α₁，α₂，…，α_s中任意r个向量都是这个向量组的极大无关组

C.α₁，α₂，…，α_s中任意r个线性无关的向量都是这个向量组的极大无关组

D.α₁，α₂，…，α_s的任意极大无关组均含r个向量

设,试证自E中可选取数列{x_n},其极限为β:又若β∈E,则情形如何