试分别举出符合下列要求的函数f:

举出符合下列要求的f(x)

试对下列函数写出拉格朗日公式f(b)-f(a)=f´(c)(b-a)，并求c.

设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(x)在关于对称的点处取相同的值.试证:

设函数f(z)在区域r₀＜|z|＜∞内解析，C表示圆|z|=r(0＜r₀＜r).我们把积分

定义作为函数f(z)在无穷远点的留数，记作Res(f,∞),在这里积分中的C^-表示积分是沿着C按顺时针方向取的。试证明:如果a_-1表示f(z)在r₀＜|z|＜+∞的罗朗展式中1/z的系数，那末Res(f,∞)=-a_-1

以下是从N到N不存在双射函数的证明。试指出其错误。

假设f是从N到N的一个双射函数，f(k)=ik。对每一ik，颠倒ik的数字并放小数点于左边以构成一个在[0,1]中的数。例如若ik=123，则被构成.32100。这样，定义了一个从N到[0,1]的单射函数g。例如

g(123)=.321000…

应用康脱对角线技术于数组

来构造数y∈[0,1].现在把y的数字颠倒，并把小数点放在右边。其结果是一个不出现在表f(0),f(1),f(2)…中的数，这与断言f是满射函数矛盾。因此，从N到N没有双射函数存在。

若收敛,则称f(x)在[a,+∞)上平方可积(类似可定义无界函数在[a,b]上平方可积的概念).

(1)对两种反常积分分别探讨f(x)平方可积与f(x)的反常积分收敛之间的关系;

(2)对无穷区间的反常积分,举例说明,平方可积与绝对收敛互不包含;

(3)对无界函数的反常积分,证明:平方可积必定绝对收敛,但逆命题不成立.

试分别用冲激响应不变法和双线性变换法将下列模拟滤波器系统函数H_a(s)变为数字系统函数H(z)。

求由下列方程所确定的函数z=f(x,y)的一阶和二阶的偏导数: