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上三角矩阵在一维数组中的表示

周雨            来源:优草派

上三角矩阵是一种特殊的矩阵,它的下三角全都为零。在实际应用中,上三角矩阵经常出现,如线性代数中的Gauss–Jordan消元法、计算机图形学中的三角剖分、计算机视觉中的相机标定等。在一维数组中表示上三角矩阵,可以有效地节省存储空间和提高计算效率。本文将从多个角度分析上三角矩阵在一维数组中的表示。

上三角矩阵在一维数组中的表示

1. 数组表示方法

上三角矩阵可以用一个一维数组来表示,具体方法如下。设上三角矩阵为A,其阶数为n,则A中所有的元素可以表示为A[i][j],其中i≤j。将A中的所有非零元素按照行优先的顺序存放在一个一维数组V中,V的长度为n(n+1)/2,存放顺序如下:

V[0] = A[0][0]

V[1] = A[0][1]

V[2] = A[1][1]

V[3] = A[0][2]

V[4] = A[1][2]

V[5] = A[2][2]

……

V[k] = A[i][j]

其中k=i*(i+1)/2+j。

2. 存储空间优化

由于上三角矩阵中的非零元素只有一半,因此可以将一维数组的长度缩短为n*(n+1)/4,从而节省存储空间。具体方法如下。将上三角矩阵按照对角线上的元素分为两部分,一部分是对角线及其上方的元素,另一部分是对角线下方的元素。对于对角线及其上方的元素,按照行优先的顺序存放在一维数组V1中;对于对角线下方的元素,按照行优先的顺序存放在一维数组V2中。则上三角矩阵可以表示为:

A[i][j] = V1[i*(i+1)/2+j] (i≤j)

A[i][j] = V2[j*(j+1)/2+i] (i>j)

其中V1的长度为n*(n+1)/4,V2的长度为n*(n-1)/4。

3. 访问元素方法

对于上三角矩阵中的某个元素A[i][j],可以通过一维数组V的下标k来访问。但是,如果直接按照上述公式计算k的值,会浪费大量的计算时间。因此,可以通过以下方法来计算k的值:

k = (2*n-i+1)*i/2+j-i

其中i≤j。

4. 计算效率分析

在一维数组中表示上三角矩阵可以有效地节省存储空间和提高计算效率。对于上三角矩阵的加、减、乘、求逆等运算,都可以转化为一维数组的操作,从而加快运算速度。例如,对于上三角矩阵的乘法,可以使用以下算法:

C[i][j] = 0

for k from j to n-1 do

C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]

其中i≤j,A和B分别表示两个上三角矩阵,C表示它们的乘积。由于上三角矩阵中只有一半的元素不为零,因此循环次数减少了一半,从而提高了计算效率。

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